2020藤田医科大数学解説 大問1(6)　(東大合格請負人 医学部受験生 時田啓光 合格舎)

こんにちは

東大合格請負人の時田啓光です。

今回は、藤田医科大の数学　大問１の(6)の解説です。

来年の医学部受験生はぜひチャレンジしてください。

理系の難関国立大、私大を目指す人にとっても学びが多い問題です。

一発で図が描ける人からすると、回りくどいなーっと感じるかもしれませんが、

試験本番で受験生が無理なく回答できるレベルを想定して

模範解答をつくっていますので、そういう風に活用して下さい。

(6)    x^2-1+3 cos⁡2πx=0の実数解の個数を求めよ。

（２０２０藤田医科大）

解答に至るまでの考え方

この式を見ると、xに関する２次関数の部分とcosの三角関数の部分が

あって、これらを同時に考えるのが難しそうです。ですので、

両者を左辺と右辺に分けて考えましょう。(与式)を変形すると、

3 cos⁡2πx=-x^2+1

∴cos⁡2πx=(-x^2+1)/3

この式が成り立つ実数解xを求めるので、グラフを描いてy=cos⁡2πxと

y=(-x^2+1)/3 との共有点を探せば良い。

(ステップ１)

まず、グラフに描くのが簡単な

y=(-x^2+1)/3 を描いておきます。

y軸対称で、 (x,y)=(0, 1/3),(±1, 0)を

通ることが分かります。

(ステップ２)

y=cos⁡2πxのグラフを考える。

一般的に cos⁡xのグラフはy軸対称なので、

これはy=(-x^2+1)/3も同じ。なので、 x>0の場合を

調べれば、共有点の個数は分かる(２倍すればいい)

続いて、 y=cos⁡2πx  が通る点を求める。

y=(-x^2+1)/3を参考にすると、

x=0, 1のときは値を求めやすく、

比較しやすいので、それぞれ求めておく。

x=0のとき、 y=cos⁡0=1

x=1のとき、 y=cos⁡2π=1

これをみると、 x=0からx=1までで

y=cos⁡2πx  は１周期分動いていることが分かる。

以上から、 0≦x≦1の範囲では右図がかける。

(ステップ３）

(ステップ2)の流れの続きで、

どこまで調べるかというと、

y=cos⁡2πx の下限　つまり、

(-x^2+1)/3=-1を求める。

∴ x=2 これをy=cos⁡2πxに代入すると

y=cos⁡4π=1となるので右図が

描ける。よって、共有点が４つなので、

x<0の場合も合計すると、

求める実数解の個数は８つ　･･･（答)