2020昭和大医学部(I期) 数学解説大問２
こんにちは
東大合格請負人の時田啓光です。
本日は、2020年の昭和大医学部(I期)の数学 大問２を解説します。
医学部受験生は、参考にして下さい。
受験生にとって、できるだけ無理がなく
試験会場で思いつける解法を目指しています。
よりエレガントで、効率的な解き方も考えてみてくださいね。
[2]
(1) 問題不備
(2) a_1= 1/3 、(2n+1) a_n=(2n-3) a_(n-1) (n≧2) によって定められる数列{a_n }の一般項を
求めよ。また、lim┬(n→∞)〖a_n 〗 を求めよ。
(3) 次の条件によって定められる数列{a_n }の一般項を求めよ。また、lim┬(n→∞)〖a_n 〗を求めよ。
a_1=1, a_2=1/2, a_(n+2)=1/2 a_(n+1)+1/8 a_n
(2020昭和医大)
解答に至るまでの考え方
(2)
{(a_1=1/3 …① (2n+1) a_n=(2n-3) a_(n-1)…② (n≧2)
②の式を見ても、求める数列のルール、つまり前後関係が分かりにくい。
仮に、 (2n+1) a_nをn項目の値としてみると、
(n-1)項目は(2(n-1)+1) a_(n-1)=(2n-1) a_(n-1)となるので、これは右辺と一致しない。
ということで次のように分数の形にする。
a_n=(2n-3)/(2n+1) a_(n-1)…②^′
この前後関係から、さらに１つ項数をズラし、約分してnの式を消去できないか試みる。
a_(n-1)=(2(n-1)-3)/(2(n-1)+1) a_(n-2)=(2n-5)/(2n-1) a_(n-2)
これを②^′に代入して、
a_n=(2n-3)/(2n+1)×(2n-5)/(2n-1) a_(n-2)
さらに同様な操作を続けると、
a_n=(2n-3)/(2n+1)×(2n-5)/(2n-1)×(2n-7)/(2n-3)×(2n-9)/(2n-5) a_(n-4)
狙い通り、約分できるnの式が現れた。そしてa_1になるまで続けると、
a_n=(2n-3)/(2n+1)×(2n-5)/(2n-1)×(2n-7)/(2n-3)×(2n-9)/(2n-5)×…×(2∙4-3)/(2∙4+1)×(2∙3-3)/(2∙3+1)×(2∙2-3)/(2∙2+1) a_1
=(2n-3)/(2n+1)×(2n-5)/(2n-1)×(2n-7)/(2n-3)×(2n-9)/(2n-5)×…×5/9×3/7×1/5×1/3 (∵①より)
=1/(2n+1)(2n-1)
これは、 n=1のとき(右辺)= 1/3 となり①を満たす。
さらに、 lim┬(n→∞)〖a_n 〗=0
{(a_n=1/(2n+1)(2n-1) (n≧1) @lim┬(n→∞)〖a_n 〗=0
(3)
{(a_1=1, a_2=1/2 …① a_(n+2)=1/2 a_(n+1)+1/8 a_n…②)
これは、３項間の漸化式といいます。
[３項間の漸化式の一般的な解法]
a_(n+2)+pa_(n+1)+qa_n=0…☆ という漸化式が与えられていたら、
この式の係数に対応する２次方程式 x^2+px+q=0 を解きます。
この２次方程式の解がα,β とすると、☆の式を次のような連立方程式が成り立ちます。
{(a_(n+2)-β∙a_(n+1)=α(a_(n+1)-β∙a_n ) @a_(n+2)-α∙a_(n+1)=β(a_(n+1)-α∙a_n ) )┤
あとは、これらの式をそれぞれ解けば、求めたい数列の一般項を出せます。
では、本問に戻りましょう。
②を変形すると、
8a_(n+2)-4a_(n+1)-a_n=0
とできるので、
8x^2-4x-1=0
この２次方程式の解を求めます。
残念ながら因数分解できない式なので、解の公式を地道に使いましょう。
x=(2±√(4+8))/8=(1±√3)/4
となります。
よって、次のような連立方程式が成り立ちます。
{(a_(n+2)-(1-√3)/4 a_(n+1)=(1+√3)/4 (a_(n+1)-(1-√3)/4 a_n ) …③@a_(n+2)-(1+√3)/4 a_(n+1)=(1-√3)/4 (a_(n+1)-(1+√3)/4 a_n ) …④)┤
③より、
数列{a_(n+1)-(1-√3)/4 a_n }”は、初項 ” a_2-(1-√3)/4 a_1=1/2-(1-√3)/4 (∵①より)=(1+√3)/4 ” で、”
公比 (1+√3)/4 の等比数列なので、次の式が成り立つ。
a_(n+1)-(1-√3)/4 a_n=((1+√3)/4) ((1+√3)/4)^(n-1)=((1+√3)/4)^n…③^′
④より、
数列{a_(n+1)-(1+√3)/4 a_n }”は、初項 ” a_2-(1+√3)/4 a_1=1/2-(1+√3)/4 (∵①より)=(1-√3)/4 ” で、”
公比 (1-√3)/4 の等比数列なので、次の式が成り立つ。
a_(n+1)-(1+√3)/4 a_n=((1-√3)/4) ((1-√3)/4)^(n-1)=((1-√3)/4)^n…④^′
③^′-④^′ より、
√3/2 a_n=((1+√3)/4)^n-((1-√3)/4)^n
∴a_n=(2√3)/3 {((1+√3)/4)^n-((1-√3)/4)^n } (n≧1)
lim┬(n→∞)〖a_n 〗=0-0=0
{((2√3)/3 {((1+√3)/4)^n-((1-√3)/4)^n } (n≧1)@lim┬(n→∞)〖a_n 〗=0 …(答)
